La
tablilla babilónica Plimpton 322 presenta cuatro columnas (separadas
por tres hendiduras) y 15 filas de números cuneiformes, pero seguramente
tuvo más porque está fragmentada. UNSW/ Andrew Kelly
Dos investigadores de la
Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW, Australia) han analizado una
famosa tablilla de arcilla babilónica, datada entre 1822 y 1762 antes de Cristo, y han descubierto que se trata de la tabla trigonométrica más antigua y precisa del mundo.
Posiblemente los antiguos escribas matemáticos las utilizaban para
realizar los cálculos necesarios para levantar templos, palacios,
canales y otras construcciones.
El estudio confirma que los babilonios se adelantaron en más de mil años
a los griegos en la invención de la trigonometría (el estudio de los
triángulos) y muestra un sofisticado y antiguo conocimiento matemático
que había permanecido oculto hasta ahora.
La tablilla, denominada Plimpton 322, fue
descubierta en la primera década del siglo XX, en lo que ahora es el sur
de Irak, por el diplomático, arqueólogo, académico y comerciante de
antigüedades Edgar J. Banks, el personaje real en el que se basó otro de ficción mucho más popular: Indiana Jones.
La tablilla confirma que los babilonios se adelantaron en más de mil años a los griegos en la invención de la trigonometría
En esta tablilla aparecen grabadas, con la escritura cuneiforme de la época,
una serie de cuatro columnas y 15 filas de números que siguen un
original sistema sexagesimal (de base 60, como nuestro sistema horario),
en lugar del sistema decimal con base 10 que utilizamos hoy en día. Las
cifras describen una secuencia de 15 triángulos rectángulos, que van
reduciendo su inclinación y 'aplanando' fila tras fila.
Basándose en estudios previos y observando que el
borde izquierdo de la arcilla está roto, los investigadores plantean que
Plimpton 322 tuvo originalmente seis columnas y probablemente debía estar formada por 38 filas de caracteres cuneiformes.
Ternas pitagóricas mucho antes de Pitágoras
"Esta tablilla lleva desconcertado a los matemáticos
desde hace más de 70 años, porque se dieron cuenta de que contiene un
patrón especial de números llamado terna pitagórica", explica uno de los autores, Daniel Mansfield, de la Escuela de Matemáticas y Estadística de la UNSW en Sidney.
Una terna pitagórica es una lista de tres números enteros positivos:
a, b y c, donde se cumple que a2 + b2 = c2. Un ejemplo sencillo son los
números enteros 3, 4 y 5, pero los valores que presenta Plimpton 322 a
menudo son considerablemente mayores, como los que refleja en su primera
fila, donde aparece el triplete 119, 120 y 169.
El nombre de esta terna se deriva del teorema de Pitágoras,
que para un triángulo rectángulo establece que el cuadrado de la
hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es la suma de los cuadrados de
los otros dos lados.
“Los babilonios conocían los triples pitagóricos mucho antes de que naciera Pitágoras,
como se puede ver en esta y otras tablillas”, señala Mansfield, y
destaca: “Además nos enseñan cómo hacer trigonometría sin usar los
ángulos, una trigonometría mucho más simple que no requiere conceptos avanzados como ángulos o números irracionales”.
La desconocida trigonometría que describe la
tablilla para los triángulos rectángulos se basa en ratios o relaciones,
no en ángulos ni círculos. Según los autores, es una obra matemática fascinante que demuestra el genio de sus creadores: "La tablilla no sólo contiene la tabla trigonométrica más antigua del mundo, sino que también es la única completamente precisa, debido al diferente enfoque babilónico de la aritmética y la geometría”.
Es una trigonometría sin ángulos y posiblemente la usaban para levantar sus construcciones
El estudio, que se publica en Historia Mathematica
(la revista oficial de la Comisión Internacional de Historia de las
Matemáticas), apunta la predilección de los babilónios por la precisión de los números,
y compara la tablilla con la llamada tabla de senos de Madhava
(construida en el siglo XIV por este matemático y astrónomo indio),
demostrando que Plimpton 322 es una tabla trigonométrica “exacta y
potente”.
Las tablas trigonométricas permiten usar la
información de un lado de un triángulo rectángulo para determinar la de
los otros dos. Hasta ahora se consideraba al astrónomo griego Hiparco, que vivió alrededor de 120 años antes de Cristo, como el padre de la trigonometría, y a su 'tabla de cuerdas' como la tabla trigonométrica más antigua.
"Pero Plimpton 322 precede a Hiparco en más de 1000 años",
insiste el otro autor, el profesor Norman Wildberger, quien considera
que gracias a esta tablilla se abren nuevas posibilidades no sólo para
la investigación matemática moderna, sino también para la educación
matemática: "Nos ofrece una trigonometría más simple, más precisa, que
tiene claras ventajas sobre la nuestra".
El mundo antiguo enseñando algo nuevo
"Esto significa que tiene gran relevancia para
nuestro mundo moderno”, añade Mansfield por su parte. “La matemática
babilónica puede no haber estado de moda durante más de 3000 años, pero hoy tiene posibles aplicaciones prácticas en topografía, gráficos por ordenador y en el campo de la educación. Es un raro ejemplo del mundo antiguo enseñándonos algo nuevo".
"Plimpton
322 era una herramienta poderosa que podría haber sido utilizada en la
topografía de los campos o para los cálculos arquitectónicos en la
construcción de palacios, templos o pirámides escalonadas", aventura
Mansfield, aunque reconoce que, en realidad, “es difícil decirlo con
seguridad, porque nuestra ventana a ese mundo es muy pequeña: sólo podemos echar un vistazo y decir lo que parece ser”.
La matemática babilónica puede no haber estado de moda durante más de 3000 años, pero hoy todavía se puede aplicar
En cualquier caso, los autores descartan que, como se pensaba hasta ahora, la tablilla sirviera simplemente para que los profesores de la época comprobarán las soluciones de los estudiantes a la hora de resolver problemas de ecuaciones cuadráticas.
Plimpton 322, que se cree procede de la antigua ciudad sumeria de Larsa
(a unos 250 km al sur de Bagdad), actualmente se conserva en la
Biblioteca de Manuscritos y Libros Raros de la Universidad de Columbia
en Nueva York.
"Existe un tesoro de tablillas babilónicas como esta, pero sólo se ha estudiado una parte.
El mundo matemático está empezando a descubrir que la antigua, aunque
muy sofisticada, cultura matemática de los babilonios todavía tiene
mucho que enseñarnos", concluye Wildberger.
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